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重视向量的应用培养学生的创新力(2)

时间:2013-09-05 10:43 来源:发表吧作者:苏荣章点击: 次

　　例2：求函数的最小值。

　　解：设

　　则

　　∵

　　∴

　　当且仅当反向时，等号成立

　　，得x=-，∴f（x）的最小值是-8。

　　本题的关键是利用x与的平方和为常数，巧构向量，应用研究数量积和模的定义来求解。我们都清楚：

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　利用这些结论，也可作为求函数最大值∈或值域的依据。

　　例3：已知x2+y2=3，a2+b2=4，x，y，a，b∈R，求ax+by的取值范围。

　　由于x2+y2=3，a2+b2=4，联想到向量模的平方形式，由ax+by联想到向量数量积，那么我们构造两个向量，让它们符合条件，再运用，即可解决问题。

　　解：设

　　则

　　∵

　　∴（ax+by）2≤12

　　∴

　　∴ax+by的取值范围是能构造，就可能创造。

　　三、向量在三角函数中的应用

　　例4：求sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin293°的值。

　　本题表面上看与向量一点关系也没有，但纯粹用三角函数的方法求解也比较难，考虑到5°、77°、149°、221°、293°各相差72°，联想到正五边形的内角关系，构成正五边形建立坐标系，考虑到封闭图形的矢量和为0，各向量在y轴上的分量和为0，故sin5°+sin77°+sin419°+sin221°+sin293°=0

　　例5：已知的值

　　分析：本题一通分即出现

　　考虑到向量的数量积，设，其夹角为，

　　有，所以

　　解：设，夹角为

　　∵

　　∴

　　四、向量在解三角形或立体几何中的应用

　　向量有大小、有方向，即有长度、有角度，在解三角形中能推证正、余弦定理判定三角形的形状，点与三角形的位置关系，在立体几何中可求平面角的二面角等。传统的立体几何求二面角先要作平面角，再进行复杂的推证和求解，若应用向量则降低了处理图形的难度。

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