移动技术辅助几何证明的多重表征系统设计与应用研究(2)
1.数据库
数据库存储已知条件、证明结论、图形以及完整的证明过程，提供文字表征、图形表征、证明表征之间相互转化的逻辑关系连接。
2.文字表征模块
文字表征模块是以文字的形式呈现已知条件和证明结论，辅助学生了解数学符号和语言，推理已知条件到证明结论之间的逻辑关系。如图2（a）所示，当使用者点击文字表征模块的已知条件或证明结论时，图形表征模块就会把相应的知识呈现在图形中，证明表征模块中形式证明和证明树也会对应地呈现出从已知条件到证明结论完整的证明过程。
3.图形表征模块
图形表征模块是以静态图、动态图两种表现形式呈现已知条件。静态图如图2（b）所示，是根据文字表征的信息形成的图形。文字与图形之间的对应关系可以帮助学生提供和补充信息，逐步提高学生对几何问题的理解能力。
为了克服静态图的约束性，我们设计了如图2（c）所示的动态图，通过拖动具体对象可以把抽象的数学思想清晰地呈现出来。学生可以拖动图中的几何对象，其属性值会更清楚、直观地动态呈现出来。
4.证明表征模块
证明表征模块包括形式证明和证明树。在学习证明时，学习者需要认识到演示图的作用，从中找出已知条件和证明结论，以及隐含的假设、特征和推理规则[5]。形式证明如图2（d）所示，其中每一步骤的结论都是由指定条件推出，点击任何一个证明步骤，学生可以在证明树中找到对应的结点。形式证明是一个复杂的认知过程，为了降低学生理解证明的认知负荷，我们应该引导学生通过证明树建立已知条件和结论之间的逻辑关系。
证明树是从已知条件到证明结论推断的节点层次结构[6]，大部分研究者利用树形结构呈现逻辑推理过程。证明树的每个节点都代表一个证明步骤，根节点是文字表征中的证明结论，叶节点是一个给定的条件或本身隐含的条件。最后，树状结构图如图2（e）所示，呈现出从已知条件到证明结论之间的逻辑关系。只要点击证明树上的任何节点，学生可以在形式证明中看到相应的推理步骤，有助于学生理解形式证明和证明树之间的对应关系。
图2五种表征
三、研究方法
（一）研究对象
本研究从东北师范大学附属中学初二年级377名学生中选出94名具备证明基础知识和能熟练应用智能手机的学生作为研究对象，年龄范围分布在14～16岁之间。采用SPSS18.0进行统计分析学生的平时数学成绩，将学生分成三组：高级组（24人）、中级组（46人）、低级组（24人）。
（二）研究课程选定
根据教学进度，本次实验选取人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书（数学）》八年级上册第十一章《全等三角形》作为教学内容。根据学生实际情况、教师的教学经验，基于移动技术辅助几何证明的多重表征系统设计，把几何证明题存储到数据库中，并且用多种表征呈现出来。对实验内容设计成课件，配备给实验教师，并对实验教师进行理论与实验的指导。
（三）教学策略设计
在基于移动学习系统的应用研究中，为了让学生循序渐进地掌握几何知识，我们设计了四项任务（如图3所示），学生按照简单到复杂的顺序完成。任务越简单，给学生提供的信息越丰富；反之，学生需要认真推理和理性判断完成任务。以下是四项任务的具体内容。
任务一：查找丢失的推理步骤。如图3（a）所示，学生可以与文字表征、形式证明、静态图或动态几何图进行转换和转译，恢复丢失节点的证明树。通过观察这些表征之间相互对应关系，能提高学生对其他表征的理解能力。如果学生能够找到形式证明与证明树之间的对应关系，那么学生就具备恢复证明树推理步骤的能力。这个任务主要测试学生对这个证明命题的了解，是否能简单地通过其他几种表征完成简单的转换、推理。
任务二：选择正确的步骤完成形式证明。这项任务的主要目的是帮助学生阅读并理解证明树和完成形式证明。如图3（b）所示，学生通过阅读文字表征、静态图、动态图和证明树，系统以选择题的形式为学生呈现缺失步骤，学生从四个选项选择一个正确答案填写在空缺处，完成形式证明步骤。
任务三：证明树转换成形式证明。为了培养学生能够在多重表征环境中独立完成一个完整的形式证明的能力，如图3（c）所示。学生参考文字表征、静态图和动态图给出的信息，构建一个形式证明，根据证明树的步骤，复制对应的树节点内容粘贴到形式证明中。此外，为了帮助学生发现不同证明步骤顺序导致结果的不同，学生可以根据自己的逻辑推理，以拖动内容的形式重新排列证明步骤。同时，学生判断几何特征或命题时，可以根据文字表征和图形表征进行检查和判断。
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