[摘要]本研究设计了移动技术辅助几何证明的多重表征系统，选取94名初中学生作为实验对象，分三组完成查找丢失的推理步骤、选择正确的步骤、证明树转换成形式化证明、概念测试等四项任务。通过问卷调查、访谈收集数据，采用描述性统计、单因素方差分析等方法分析三组学生对文字表征、静态图、动态图、证明树、形式证明的应用情况。结果表明：（1）不同知识经验的学生使用系统总次数有明显的差异，中级组学生使用频率最高；（2）高级组和中级组学生最喜欢证明树和形式化证明，能够熟练找到它们中对应的知识并相互转换，而低级组学生更喜欢根据动态图辅助学习；（3）学生普遍对该系统有较高的接受程度。
[关键词]移动技术；表征；多重表征；几何证明
[中图分类号]G434[文献标志码]A
一、引言
随着移动技术的蓬勃发展，手机、电脑、PDA等移动设备无处不见。移动学习已经成为一种新兴的学习方式。几何是初中数学教学的重难点，直接影响初中学生数学成绩的高低。传统几何课堂教学中，老师以口头陈述和肢体语言协同的方式完成几何教学，而学生必须认真听、看、做笔记、思考和联想已有知识才能完成学习任务，这样增加了学生的认知负荷。然而，许多研究者对几何学习者试行了不同的教学方法，发现影响学生成绩的主要原因有不完全理解问题和数学符号、直接根据视觉证明、证明时缺乏学习策略[1]等。
Behr等基于布鲁纳的表象理论，提出利用表象系统构建一个交互式模型提高学生的数学学习成绩[2]。如果学生清楚多重表征之间的交互连接结构，就会更容易解决几何问题。所以，几何教学中强调使用多种表示形式减少认知负荷。为了减少初中学生在几何证明中的认知负荷，我们基于多重表征理论设计了几何证明学习系统，探讨其对学习者的影响。
二、移动技术辅助几何证明的
多重表征系统设计
（一）多重表征系统设计理论
1.认知负荷理论与几何学习
教育心理学家JohnSweller将认知负荷分成内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷。几何证明学习过程中，学习者知识经验的高低和学习内容各要素之间的交互复杂性直接影响学生的内在认知负荷；外部认知负荷与几何证明系统的教学设计有密切关系；相关认知负荷是优化学生认知结构，重新合成几何证明步骤简单有序的知识体系，有效降低学生记忆的认知负荷，节省有限的记忆资源。
同时，认知负荷理论对优化数学多重表征学习的教学设计有极大的启示作用。优化特点包括：（1）将教学信息打包、设计成有意义的信息包以降低内在负荷和外在负荷，并且增加有效负荷；（2）运用回答问题、暗示等教学支架策略激励学生学习动机，使学生积极主动地参与到学习过程中，促进其在多种表征间交互学习，以及它们之间的转换和转译，充分发挥多重表征的作用，产生更多的有效负荷。
2.多重表征理论与几何学习
表征是认知心理学的核心概念。随着信息技术在教育和心理领域的发展，研究者Hiebert和Carpenter在数学领域把表征分为内部表征（抽象、具体等形式）和外部表征（语言、文字、符号、图片，或实际情境等形式）[3]。Ainsworth指出，学生应该学习多种表示形式之间互译，并能构建表征与表征之间的转换[4]。学生能够通过多个角度提供的不同表述修改不正确的概念和猜想。
在教学中，构建多重表征能展示不同的教学功能，实现个性化学习。多重表征主要有三种功能：互补、限制和构建。多重表征内部是相互补充、相互支持和相互转换的。表征彼此相互制约和相互解释。总之，多重表征能促使学习者对知识进行深层次理解。
（二）多重表征系统功能模块设计
几何证明是一个逻辑性极强的过程，学生首先应该明确给出的已知条件，然后联想关键提示和适当的几何性质或定理进行演绎推理，最后组织所有的演绎步骤，并按已知条件到结论证明的顺序写出推理步骤（演绎—推理—组织—整理）。认知负荷理论的通道效应指出，同时运用多种表征呈现信息，其学习效果要高于单一通道呈现。Mayer等人的研究表明，它能丰富学生的想象力，使其思维变得更灵活。所以，一个定理必须建构文字描述和图形之间的双向连接以减少学生的认知负荷。在数学教育领域，多重表征的分类见仁见智，本文根据几何证明教学内容，将多重表征分为文字表征、静态图、动态图、形式证明和证明树。
为了减少认知负荷，使学生能够熟练地掌握和理解整个几何证明过程，基于移动技术辅助几何证明的多重表征系统包括四个模块：数据库、文字表征模块、图形表征模块、证明表征模块（如图1所示）。
图1几何证明的多重表征系统模块
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