关于培养学生数学猜想能力的思考与实践(2)

　　师：你觉得圆柱体积的大小和什么有关？
　　生1：和圆柱的高有关，一个圆柱它的高增加，它的体积也会变大些。
　　生2：和圆柱的底面大小有关，一个圆柱的底面增加，它的体积也会变大些。
　　师：很好！大胆地推想一下圆柱的体积应如何计算？（小组讨论）
　　生：我猜想用圆柱的底面积乘以它的高就可以求出体积。
　　师：你同意他的猜想吗？说说你的理由。
　　生1：我觉得他的想法很有道理，因为圆柱体可以看作是有很多个相同的圆叠加起来的。
　　生2：我也觉得有道理，因为长方体和正方体的体积公式也是底面积乘以高。
　　片段四仔细验证，推导圆柱的体积计算公式。
　　师：同学们都会大胆猜想，但还要小心地论证猜想的科学性。
　　教师拿出一个圆柱体教具，把它藏在衣服里，只露出一个底面。
　　师：你看到了什么？
　　生：圆形。
　　师：你还记得圆是转化成什么图形的面积来求它的面积公式的吗？
　　生：把圆的面积转化成长方形的面积。
　　教师把整个圆柱拿出来，问：怎么求这个圆柱的体积呢？（小组讨论）
　　生：可以把这个圆柱转化成我们已经会求的长方体的体积来求。
　　师：说说你们小组是如何转化的。
　　生上台操作展示。生：我们把圆柱平均分成16份，可以拼成一个近似的长方体，这个长方体的高就是圆柱的高，底面积和圆柱的底面积相等。所以，圆柱的体积可以用底面积乘高来求。
　　师：你同意吗？照这样做一遍，然后说一说如何求圆柱的体积。
　　教师课件出示将圆柱分成32份和64份后拼成长方体的过程；然后总结"如果分的份数越多就越接近于长方体"；最后学生自主得出圆柱的体积公式。
　　反思：整个教学，由浅及深，引导学生积极探索、猜想、验证。首先，使得学生建立圆柱的体积概念，创设问题情境，引导学生"你觉得圆柱体积的大小和什么有关"，给学生提供了重要的猜想的条件和情境。其次，引导学生大胆猜想圆柱的体积应如何计算？直接让学生自由猜想圆柱的体积计算公式。实践表明，学生根据已有的长方体（或正方体）的体积就可以类比猜想出圆柱的体积计算公式。最后，进行验证。这样教学，培养了学生大胆猜想、勇于探索、积极思索、敢于创新的精神。
　　3.探索性猜想
　　归纳性猜想和类比性猜想都是根据已有的事实，经过观察、猜想、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的。波利亚曾说："我想谈一个小小的建议，可否在学生做题之前，让他们猜想该题的结果，或者部分结果。"在解决问题时，如果能先对问题作初步的逻辑分析，然后再依据已有的知识和经验，引导学生作出逼近结论的猜想。最后，再加以检验、修改和验证。我们把这种带有探索推理性的猜想称为探索性猜想。
　　（1）通过试验假设提出探索性猜想。在解决问题时，使逻辑思维因素和非逻辑思维因素交织在一起，两者协同作用，有利于激活思维，开阔思路，把握问题的关键，提高分析问题、解决问题能力。这样教学，既要注重算理，又要合理估计结果，并能根据条件合理作出猜想，培养思维的创造性。
　　教学中，教师应给学生提供自主探索的机会，让学生在观察、讨论、交流、猜测的过程中，经历数学学习过程，从中探得规律。引导学生从不同角度去分析、解决问题，逐步培养学生探索和解决问题的能力。教学中，既让学生说算理，又引导学生估计结果，并能依据条件作出合情猜想，从中学会科学的思维方法。
　　（2）通过数形结合提出探索性猜想。数形结合方法之一是借助形的生动和直观性来认识数，引导学生主动而有效地观察图形，培养学生从图中读懂重要信息并整理信息的能力，提高提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数学规律形成的意义。引导学生经历观察、操作、归纳、类比、猜测等过程，提出探索性猜想，发展合情推理能力。
　　4.仿照性猜想
　　精心选择与课本上相关的知识点或思想方法，通过猜想验证，在已有知识的基础上引导学生去探索，举一反三，在知识迁移中发展"仿照性猜想"。
　　案例二：猜想与验证相结合
　　在学习圆柱的表面积和体积之后，我出示了以下这道题：
　　把一个底面积为24平方厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，然后在圆柱体的表面涂上油漆。要刷油漆的面积是多少？
　　同学们议论纷纷。大家都认为要求圆柱的表面积，需要知道底面直径（或半径）以及圆柱的高。可这道题只告诉我们正方体的底面积是24平方厘米，底面（正方形）的边长求不出来，怎么办呢？
　　善于思考的同学联想到以前做过一道与今天有点类似的题目：已知正方形的面积是10平方厘米，求正方形内最大圆的面积。
　　这道题中圆柱的表面积与正方体表面积会不会也存在类似这样的规律呢？即圆柱的表面积是不是占正方体表面积的78.5%呢？
　　我们就列式计算，然后验算。