新理念下中考数学试题的变化

【摘 要】现如今中考题型越来越新颖，在应用问题、猜想问题和阅读理解题这几类试题中显得尤为明显。本文结合例题阐述如何提高学生的实践能力、增强学生的分析能力、加强学生的自学能力，强化学生的动手能力。
　　【关键词】应用 实践 猜想 分析 理解 自学
　　近几年随着初中数学课程标准的实施，各地中考试题中具有探索性、实践性、创新性的越来越多。它强调以学生发展为本，特别重视发挥学生主体性。面对新的教育理念，如何适应数学教学改革要求，重视学生个性和创新性思维能力的培养是一个重要的课题。下面我们就以中考试题为例，一起讨论几类问题，供师生在中考复习时参考。
　　一、探索应用问题，提高学生的实践能力
　　数学是改革客观世界的重要工具，我们应该用动态的观点去认识数学。应用数学是学数学的出发点和归宿，所以应用题也是中考命题的热点。据调查，初中学生中大多数不理解利润、看不懂股票的走势图，究其原因是在校内外学做家庭理财和参与社会服务的机会太少。新课程标准重视数学学习与实践的结合，重视考查学生在面对真实情境下解决问题的能力，从而提高学生对应用性问题的领悟能力和解决能力。
　　例1：某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间，市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱。（1）写出平均每天销售Y（箱）与每箱售价X（元）之间的函数关系式（注明范围）。（2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价X（元）之间的二次函数关系式。（每箱的利润=售价-进价）（3）求出问题2中二次函数图象的顶点坐标，并求当X=40，70时W的值。在给出的坐标系中画出函数图象的草图。（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？
　　这类题型旨在利用与生活实际有关的具体情境，关注学生的心理发展，搭起数学与实际问题的桥梁，协助学生体验由生活情境中抽象出的数学问题，这类问题最终归结为一个函数模型。新教材带给学生广阔的发展空间，要求我们在教学过程中有意识地教给学生实际生活和生产实践中有用的数学基础知识，让学生主动关注身边的实际问题，并学会运用数学建模思想方法，用数学的观点和方法来考察周围的事物，培养和提高学生的应用意识和应用能力。
　　二、探索猜想问题，增强学生的分析能力
　　猜想是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中一种创造性思维。当代著名数学教育家波利亚也指出：“要成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家。”近几年在各地中考试题中出现了各种类型的猜想型试题，并逐渐地由简单型向复杂型、单一型向多向型转化，低层次猜想向高层次、高质量型猜想问题转移。
　　例2：如图1，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点，点P是弧EF上的动点，连接OP，并延长交直线BC于点K。
　　过点P作弧EF所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于点M、G。
　　（1）当K与B重合时，BG∶BM的值是多少？
　　（2）在点P的运动过程中，是否存在BG∶BM=3的情况？你若认为存在，请求出BK的值；你若认为不存在，试说明其中的理由。一般地，是否存在BG∶BM=n（n为正整数）的情况？试提出你的猜想（不要求证明）。
　　分析：
　　（1）如图2，当K与B重合时，因为MG与弧EF所在的圆相切于点P，所以OB⊥MG，所以∠ABO+∠BMG=90°。因为∠BGM+∠BMG=90°，所以∠ABO=∠BGM。
　　所以Rt△BAO∽Rt△GBM。
　　（2）如图3，假定存在这样的点P，使得BG∶BM=3，过点K做KH⊥OA于H，那么，四边形ABKH为矩形，即有KH=AB=2。
　　因为MG与弧EF所在的圆相切于点P，所以OK⊥MG于P。所以∠HKO+∠KIG=90°，又因为∠G+∠KIG=90°，所以∠HKO=∠G。又因为∠OHK=∠GBM=90°，所以△OHK∽△MBG，所以存在这样的点K，使得BG∶BM=3。同理，可以证明：在线段BC、CD及CB的延长线上。由此可猜想：存在BG∶BM=n（n为正整数）的情况。
　　三、阅读性理解题，加强学生的自学能力