数学理解的至善追求(2)

　　从数学发展历史看，数学思想方法经历了从模糊的感性认识到精确的数学刻划再到形成数学方法直到最后上升为理性的数学思想这四个发展阶段。
　　在萌芽数学时期，原始人的思维还仅仅处于主客体分化的边缘。其内部意识活动和外部信息活动的区分是极不确定、极不明晰的，原始人的思维以模糊的感性认识为主要形式。考古研究表明，在原始人那里并没有真正的数词，使用的仅仅是执行数词的功能词。而且数本身尚未形成同类序列，还只是一种“数-总和”的混合物。[8]比如，在很多原始部落，原始人只能认识到“5”，而大于5的自然数都统称为“多”。
　　进入常量数学时期，为了更加精确地刻划研究对象，科学进入了分门别类的研究阶段，人们开始利用演绎方法来探究事物之间的各种联系，其最典型的表现是数学的公理化和推理的严密化。
　　进入变量数学时期，数学的发展从对事物静态联系的考察进一步发展到对事物动态发展过程的考察阶段。而要全面、深入地考察事物的动态发展过程就必须准确把握事物的发展脉络。于是，数学从过去仅仅着眼于对具体数学知识的研究逐渐过渡到关注数学知识背后的数学思想并进一步发展为立足于数学思想发展变化的高度来认识数学知识这一新阶段，如用函数的思想、变换的思想来重新审视代数学和几何学的本质等。
到了现代数学时期，数学思想方法的研究又得到全新的发展。数学思想方法的研究逐渐从幕后走到了台前，现在，数学思想方法不再仅仅只是研究数学知识的手段或工具，数学思想方法已经直接成为数学研究的对象并迅速发展成为一门重要的数学学科——数学方法论。
　　为了更好地理解这一过程，我们通过极限思想的发展历史来说明这一点。
　　如果大家对极限的发展历史有一点了解的话，那么应该知道极限的发展大体经历了以下几个阶段：
　　1.运用模糊、直观的日常语言对极限思想进行定性的描述的阶段
　　极限思想起源于无限，最初表现为对无限这一概念的模糊、直观认识。在我国，《庄子·天下篇》中曾经用“一尺之棰，日取其半，万世不竭”形象地反映人们对极限的直观认识，而刘徽提出的“割圆术”则是极限思想的直接运用。在西方，无论是亚里士多德、德谟克利特等人提出的无限概念和无穷小量观念，还是攸多克索斯提出的穷竭法，抑或牛顿、莱布尼兹提出的无穷小概念，都还只是对极限的一种直观认识。尽管牛顿已经发明了微积分，但对极限的认识还没有脱离直观，还存在着很多模糊的地方。英国大主教贝克莱就曾对牛顿的无穷小概念提出了尖锐批评，并指出，“这些瞬时变化率既不是一给定的量，也不是无穷小的量，它什么也不是，它只是消失了的量的灵魂……。”[9]
　　2.借助于精确的数学语言对极限思想进行定量刻划阶段
　　微积分产生以后，人们发现微积分的基础存在很多漏洞。为了完善其基础，柯西采用“无限的趋近”、“任意小”等带有模糊性的自然语言来描述极限，但这仍然不能彻底解决微积分基础不严格的问题。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯采用了精确的数学语言——“？着-N（？啄）”语言来刻划极限，从而把微积分奠基于算术概念的基础上，彻底解决了微积分中存在的漏洞。这样极限从原来模糊的定性描述逐渐转变为精确的定量刻划并因此而导致了数学分析的产生。
　　3.极限成为解决问题的一种重要方法
　　极限的产生不仅促进了微积分基础的严格化，而且还导致了诸如“？着-N（？啄）”语言、“lim”等一系列数学符号的产生。同时极限本身在解决问题中也显示了巨大的作用，用极限既可以求导、求积分、还可以解方程、求收敛级数之和等等，其应用涉及现代数学的众多分支，随着极限在各种问题求解过程中的广泛运用，极限已经成为解决数学问题的一种重要方法。
　　4.极限升华为一种理性的数学思想
　　随着极限应用范围的不断扩大和应用层次的不断加深，人们对极限的价值有了进一步的认识，逐渐形成了运用极限的思想来观察问题、分析问题和解决问题的态度，并在此基础上产生了“以直代曲”思想、“逼近”思想等重要数学思想。这表明极限已经逐渐发展成为一种重要的数学思想方法。
　　三、从人类认识数学的过程看，数学思想的理解是数学理解的最高层次
　　从人类对数学的理解过程来看，数学思想方法通常起源于人们的认识活动。洛克认为，理解过程从事物刺激感官所得到的简单观念开始（这时理解大部分是被动的），然后运用心中的主动性对简单观念进行合成、联想和抽象而得到复杂观念，大大增加人的理解力（这时候是知觉能力），理解便运用各种观念作为材料，依照这些观念的契合或相违（以此为范围），通过感觉的、直觉的和推论的途径，达到对个别事物、一般原则和上帝等对象的知识。[10]康德认为，一切人的认识都从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想[11]。
　　通俗地说，数学思想方法的理解需要经历从具有不确定性的数学活动经验中抽取出具有确定性的数学知识，产生解决数学问题的方法，然后再运用这些知识和方法来解决现实世界中的问题、解释现实世界中的现象，并在这种解释世界、解决问题的数学活动过程中形成解决数学问题的观念和态度——数学思想方法这几个阶段。
　　比如，在学习二分法时，一些有经验的老师就先采用“幸运52”游戏来让学生体验二分的过程，当学生积累了一定的感性认识以后老师再出示具体方程让学生猜测方程根的分布情况。如让学生模仿“幸运52”游戏来猜方程“x5+5x-3=0”的根，先构造函数f（x）=x5+5x-3并任取两个函数值异号的点如x=-1，x=1，由此断定在区间（1，1）内一定有根，接着看其二等份点x=0处的函数值，发现f（0）<0，从而断定在区间（0，1）内有根，然后再看0与1的二等份点值x=■，发现f（■）<0，这样又可以将判定范围缩小到区间（■，1），这样的程序可以不断进行下去直到找到方程的根或近似根为止。到了这个时候，老师可以“象这样一种方法我们给它取个名字叫二分法”来点出二分法的本质。在老师的启发与点拨下，学生头脑中对二分法的认识从模糊、直观逐渐变得清晰、明确，能够逐渐理解和掌握二分法的含义及其操作程序。
　　学生在对二分法本质获得更加清晰的理解以后要做的事情就是要能够灵活运用这一方法解决各类问题，如用二分法求方程的近似解，求曲线的近似交点等。
　　而对二分法认识的最高阶段则是形成运用二分法思想观察问题、分析问题和解决问题的态度和数学观。如果学生能够将二分法进一步上升为逼近这一重要数学思想，并能运用逼近思想去观察问题、分析问题和解决问题，那么对二分法的理解就达到数学思想方法理解这一至“善”层次[12]。
　　四、从专家与新手的解题对比看，专家往往更擅长数学思想方法的理解