地震破坏供水管网低压水力分析(2)

　　与EPANET中节点附加扩散器流量的思路相同，可以将式（3）的漏水量附加在断开管段的上游节点，如图2（c）所示，此时在节点A（B）上同时有节点自身流量QA（QB）和扩散器流量QL1（QL2），此模型在断开管线的两个端点设置附加流量，同时将断开管线删除，管网拓扑结构较为简单。
　　式（4）实质上是一种PDD模型，但EPANET中并不支持节点PDD模型的分析，在管网水力分析时，节点扩散器由与该点连接的短粗管及空蓄水池模拟（图2（c）转化为图2（b））。与EPANET的扩散器求解原理不同，为了实现图2（c）简化模型的水力求解，本文采用基于PDD模型的管网水力分析方法。
　　2压力决定的节点供水量（PDD）模型
　　传统的配水管网水力分析中假设管网压力均满足用户要求，即用户需水量需求得到全部满足，管网节点配水量固定（图3）。地震作用下，由于管段泄漏、泵站故障等原因会导致管网压力过低而不能提供足够的节点需水量，上述假设不成立，此时的节点配水量是与节点压力相关的。若仍用固定配水量代替实际配水量进行管网水力计算，水力方程组迭代过程中基于节点流量连续性的假设，求解满足节点固定需水量的结果，会降低节点的总水头，出现不符合实际情况的节点负压。
在地震破坏管网水力分析方法中，解决负压问题的办法有两种：1）对负压节点处理（删除该节点或减小需水量），然后再对整个管网的进行水力分析，直至没有负压节点；2）采用PDD模型确定节点配水量，进行管网水力分析。第1种方法需要进行多次试算才能得到合理的结果，在利用随机模拟评价震后管网功能及优化设计时会导致过多的计算量。本文采用第2种方法。
　　PDD模型是供水专业中广泛研究的一类问题，节点i的需水量Qi由该点总水头Hi决定（Qi（Hi）），其中Hi=Pi+zi，其一般的表达式为：
　　为满足节点水量所需的总水头，m；Hiavl为节点的实际总水头，m；Himin为节点无水与部分供水的界限总水头，m。
　　由式（5）看出，各个PDD模型的差异在于DSR（Hiavl）表达式的差异，图4给出了几个常用的PDD模型的函数曲线，这些模型的具体函数表达式见文献[9，22]。一般认为Qi（Hi）曲线的连续性会影响迭代计算的收敛性能[15]。
　　3基于节点流量连续性方程的管网低压水力分析
　　将管网的节点流量连续性方程组表示为节点水压的函数：
　　FH=A·qH+QH=0（6）
　　式中：F（H）=[F1（H）， F2（H）， …， FN（H）]T。A为管网结构的关联矩阵，维数为N×M，其元素取值为：当管段j与节点i相连且有水流从节点i流入管段j时aij=1，当水流从管段流入节点时aij=-1，当管段j与节点i不相连时aij=0；其中N为管网的节点数，M为管网的管段数。向量q（H）为管段的流量，维数为M×1；向量Q（H）为节点需水量，维数为N×1，其各元素取值由式（5）确定；当采用固定需水量模型时，Q为与H无关的常数。
　　利用NewtonRaphson迭代求解式（6）所示的非线性方程组时，在第k迭代步则有：
　　式中，J（Hk）为雅可比矩阵，其表达式为：
　　式中，C是维数为M×M的对角阵，其元素取值为cii=1（nsi|qi|n-1）。D是维数为N×N的对角阵，其对角元素取值为：
　　对于节点PDD模型：
　　对于模拟渗漏点的扩散器模型（图1（b））：
　　对于模拟断开点的附加扩散器模型（图2（c）），断开管段的上游节点A的流出量由扩散器流量QL1及节点流出量QA两部分组成，则与节点A对应的dii的取值为：
　　将压力决定的流量关系加入到雅可比矩阵J中，增加了式（6）的非线性，从而导致其求解收敛性能下降。应用式（7）求解的牛顿迭代步长直接更新自变量（Hk+1=Hk+δHk），若初始与实际方程根没有足够接近，迭代会使结果偏离到无规则的远处，造成不收敛。对于含有分段函数的管网方程组（式（6）），需加入确保迭代收敛的全局收敛规则。一个确定合理迭代步长的策略是这个步长使|F|2=FTF下降，假定f=12FT·F，则上述问题转化为f极小化问题，注意到牛顿步长δH对f是下降方向：
　　在第二次以后的第i次回溯过程中，可用εi、εi-1、εi-2分别替换式（18）和（19）中ε3、ε2、ε1。
　　式（12）～（19）所示的求解过程适用于各类非线性方程组的求解，其具体的计算程序可见文献[23]。
　　4算例分析
　　图6所示的管网为24个节点34条管段构成的小型管网，节点J24为源点，其总水头为50 m，管线的HazenWilliams系数均为100，管网的详细数据见文献[17]。模拟地震作用产生的管线破坏时，本文假设整个管网共发生10处破坏（图7），其中管线P8和P21遭受严重破坏而断开，管线P2、P5、P7、P11、P22、P25、P29和P31发生中等破坏而渗漏；所有破坏点均发生在原管线的中点处（图1（a）和图2（a）中λ=0.5），破坏点高程（z）为原管线两端点的均值。对于断开管线，则在管线的断开点处增加2个空蓄水池；对于渗漏管线，渗漏点的开口漏水面积AL与管线截面积之比统一取为0.05，孔口出流公式（1）的系数为μ=0.6，C=4.427。图7所示破坏管网拓扑结构采用空蓄水池模拟断开点出流。
　　4.1附加扩散器模型正确性验证
　　对破坏管网，管网初始节点（J1～J23）采用固定供水量，渗漏点采用扩散器模型；分别采用附加扩散器（本文）、空蓄水池模型（GIRAFFE）、隔离管线法（故障分析）模拟断开点，其结果如图8。对附加扩散器模型，需将图7中的节点J28、J30、J35、J36和管线P8、P21、P38、P40删除，并在断开管段的端点J4、J6、J7和J15处设置扩散器系数，采用作者编写的低压分析程序计算，算法迭代参数为α=0.1，εmin=0.1；对空蓄水池模型和隔离管线法，采用EPANET 2.0 计算。图8中初始节点的总需水量为282.08 L/s，其中漏损水量分别为164.32（扩散器）、164.28（蓄水池）和143.41（隔离）L/s；由图8可知，采用本文提出的附加扩散器模型的计算结果与空蓄水池的结果相同，而采用隔离断开管段法得到节点压力水头偏大，其分析结果过高地估计了管网的震后服务能力。