混合型随机变量的分布及其数字特征(2)

　　31810≤x<1
　　5x+111611≤x<3
　　11x≥3 。
　　分布函数描述了混合型随机变量的分布，我们可以通过分布函数求得混合型随机变量取得某个值或取值于某个区间的概率。
　　3.混合型随机变量的分布函数的分解
　　理论上，混合型随机变量的分布函数可以分解为一个离散型随机变量的分布函数与一个连续型随机变量的分布函数的线性组合，且满足组合的系数之和为一。即若混合型随机变量的分布函数为F（x），则F（x）=aF1（x）+bF2（x），其中F1（x）为一离散型随机变量的分布函数，F2（x）为一连续型随机变量的分布函数，且a+b=1。
　　例3例2中混合型随机变量X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），其中
　　F1（x）=01x<-1
　　1131-1≤x<0
　　11x≥0 ，
　　F2（x）=01x<1
　　x-11211≤x<3
　　11x≥3 ，
　　可以看出，F1（x）是一个离散型随机变量的分布函数，其分布列为
　　X11-110p（xi）11131213而F2（x）是一个服从区间[1，3]上的均匀分布的连续型随机变量的分布函数。
　　4.混合型随机变量的数字特征
　　对于一般的随机变量X，设其分布函数为F（x），若斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞xdF（x）满足绝对收敛，则X的数学期望存在，且EX=∫+∞-∞xdF（x）。
　　对于斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞xdF（x），由实变函数与泛函分析的知识知道，当F（x）为跳跃函数，在xi（i=1，2，…）具有跳跃度pi时，∫+∞-∞xdF（x）=∑1ixipi；当F（x）存在导数F′（x）=p（x）时，∫+∞-∞xdF（x）=∫+∞-∞xp（x）dx。
　　例4计算例2中的混合型随机变量X的数学期望。
　　解： 通过例3可知，例2中混合型随机变量X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），其中F1（x）是离散型随机变量X1的分布函数，F2（x）是一个服从区间[1，3]上的均匀分布的连续型随机变量的分布函数，由一般随机变量的数学期望的定义可得
　　EX=∫+∞-∞xdF（x）=318∫+∞-∞xdF1（x）
　　+518∫+∞-∞xdF2（x）
　　=318（-1×113+0×213）+518∫31xd（x-112）
　　=-118+518×112∫31xdx=918。
　　若斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞g（x）dF（x）满足绝对收敛，则随机变量X的函数g（X）的数学期望存在，且E[g（X）]=∫+∞-∞g（x）dF（x）。同样地，当F（x）为跳跃函数，在xi（i=1，2，…）具有跳跃度pi时，∫+∞-∞g（x）dF（x）=∑1ig（xi）pi；当F（x）存在导数F′（x）=p（x）时，∫+∞-∞g（x）dF（x）=∫+∞-∞g（x）p（x）dx。从而可得随机变量X的方差为
　　DX=E（X-EX）2=∫+∞-∞（x-EX）2dF（x）
　　例5计算例2中的混合型随机变量X的方差。
　　解：由X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），则
　　DX=E（X-EX）2=∫+∞-∞（x-EX）2dF（x）
　　=∫+∞-∞（x-918）2dF（x）
　　=318[（-1-918）2×113+（0-918）2×213]
　　+518∫31（x-918）2d（x-112）
　　=4511512+518×112∫31（x-918）2dx=3011192