混合型随机变量的分布及其数字特征

【摘要】混合型随机变量的相关知识在一般的本科教材中少有介绍，本文给出混合型随机变量的一些例子，并在此基础上介绍混合型随机变量的分布及数字特征。
　　【关键词】混合型随机变量分布函数期望方差
　　中图分类号：O213.2文献标识码：A
　　0引言
　　在本科《概率论与数理统计》课程的教材中，绝大多数都是只介绍离散型和连续型随机变量的分布及数字特征，很少有涉及混合型随机变量也称为奇异型随机变量的相关知识，甚至有些教材根本不提及混合型随机变量的存在。而在历年的研究生入学考试题目中曾多次出现混合型随机变量的题目，因而对于准备考研的同学来说有必要掌握混合型随机变量的相关知识。本文通过一些例子来介绍混合型随机变量，并在此基础上介绍混合型随机变量的分布以及如何计算混合型随机变量的期望与方差。
　　1.混合型随机变量
　　根据随机变量的取值情况可以将其分成三种类型，离散型随机变量的取值为有限个或可数无穷多个，连续型随机变量的取值为不可数无穷多即可以取得某一区间内的任何值，且连续型随机变量取得它的任一可能值的概率等于零。而混合型随机变量既取得一些离散的值（取这些值的概率大于零），也取得某一区间内的任何值。通俗来讲，混合型随机变量既含有离散部分，也含有连续部分。
　　例1随机变量X既取得数值0，又取得区间[2，3]中的任何值，且取到数值0的概率P（X=0）=114，在区间[2，3]中取值的概率为P（2≤X≤3）=314。
　　本例中的随机变量X是混合型随机变量。它有离散部分，因为它取值0的概率大于零。它又有连续部分，因为它的取值充满区间[2，3]。
　　2.混合型随机变量的分布
　　混合型随机变量既含有离散部分，也含有连续部分，因此既不能用离散型的分布列来描述其分布，也不能用连续型的概率密度来描述其分布。而只能采用描述随机变量分布的一般方式，即用分布函数来对它的分布进行描述。
　　例2假设随机变量X取值-1和0的概率分别为P（X=-1）=118，P（X=0）=114，且在区间[1，3]中取值的概率为P（1≤X≤3）=518。在事件1≤X≤3出现的条件下，X在[1，3]内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比，求X的分布函数。
　　解：随机变量X的取值为-1，0以及区间[1，3]，为混合型随机变量。
　　当x<-1时，F（x）=P（X≤x）=0；当-1≤x<0时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）=118；
　　当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）+P（X=0）=118+114=318；
　　当1≤x<3时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）+P（X=0）+P（1≤X≤x）=318+P（1≤X≤x），而
　　P（1≤X≤3）=518，且P（1≤X≤x1≤X≤3）=x-112，因此
　　P（1≤X≤x）=P（1≤X≤3）P（1≤X≤x1≤X≤3）=518×x-112=5x-5116，所以
　　当1≤x<3时，F（x）=318+P（1≤X≤x）=318+5x-5116=5x+1116；
　　当x≥3时，F（x）=P（X≤x）=1。所以得X的分布函数为
　　F（x）=01x<-1
　　1181-1≤x<0