一种改进的广义曲线坐标变换的电磁材料设计方法

　　摘要：提出一种改进的基于麦克斯韦Maxwell方程的广义曲线坐标变换的电磁超材料设计方法，首先介绍了该方法的转换方程，然后通过高增益喇叭天线、圆环聚焦和角度旋转的人工电磁超材料这三个例子验证该方法的可行性。将转换公式运用于二维的有限元仿真软件COMSOLMultiphysics中，得到了三种例子的仿真结果，并进行了讨论。仿真结果表明通过广义曲线坐标变换可以得到具有良好场分布特性的人工电磁超材料，具有更广泛的适用性。
　　关键词：人工电磁超材料；拉梅系数；广义曲线坐标变换；COMSOLMultiphysics
　　中图分类号：TN011?34文献标识码：A文章编号：1004?373X（2013）19?0140?05
　　0引言
　　近几年，人工电磁超材料的研究得到了较快的发展，出现了很多实现超材料性能的方法，比如基于Laplace方程和Possion方程的能够屏蔽外界电磁场影响的电磁超材料[1?2]。Pendry等人介绍了一种基于Maxwell方程的形式不变性的电磁超材料的设计方法[1]，通过该方法，电磁场能够在不破坏外部电场的情况下被可穿透的电磁超材料排除在外，从而有力表现了内部的电磁超材料对于外部的电场是隐身的。但是，该方法只适用于直角坐标系的情况，不具有普遍适用性。本文提出一种改进方法--基于Maxwell方程的广义曲线坐标系变换的电磁超材料的设计新方法。
　　为了证明该方法的可行性及普遍适用性，本文介绍了三个例子，运用COMSOLMultiphysics软件进行仿真，并对其结果进行了详细的讨论。第一个例子是高增益喇叭口天线；第二个例子是电磁超材料集中器[3?4]；第三个例子是一种关于角度旋转的电磁超材料[5?8]。这三个例子从三个不同的角度展现了电磁超材料的电磁特性，从而证明本文提出方法的可行性和实用性。
　　1转换方程
　　从狭义相对论的观点来看，时间与空间组成不可分割的统一体，从这个特点出发，闵可夫斯基提出了四维空间的概念，以时间变量作为四维空间的第零个坐标，在四维空间坐标系的概念下，闵可夫斯基将Maxwell方程组表述为：
　　可见，在新的四维时空坐标系[xα]下，Maxwell方程组（8）及媒质的本构关系式（9）与原有时空坐标系[xα]下的Maxwell方程组（1）和本构关系式（5）具有一致的表达形式，也就是说闵可夫斯基形式的Maxwell方程组具有时空变换协变性。
　　由此可知：电磁场量是统一的电磁场张量的一些分量，当进行坐标变换时，电磁场张量是不变量，但它的分量及媒质参数却随坐标系的不同而有所变化，例如对于二维、线性、时不变空间变换，在新的空间坐标系下的介电常数和磁导率张量式（9）将有如下形式：
　　因此，如果已知原始空间内的媒质参数分布[εij，][μij]以及原始空间到变换空间的坐标变换关系，可由式（7）获得该变换的雅格比矩阵，由式（11）计算在新坐标系下的[εij，][μij。]
　　然而式（7）仅适用于两变换坐标系采用笛卡儿直角坐标表征时的变换雅格比矩阵的计算。对于一般的曲线坐标系，该式不再适用。
　　2方法应用
　　考虑如图1所示的一般广义正交曲线坐标系。
　　为三个坐标轴的坐标分量，则对于通过空间内任一点的三条坐标线上的长度元为：
　　其中[Qi]为该曲线坐标第[i]个坐标分量的拉梅系数。
　　由于广义正交坐标[q1，][q2，][q3]是三维空间中点的单值函数，而三维空间中任一点亦可用直角坐标来确定，所以[q1，][q2，][q3]是[x，][y，][z]的单值函数，反之直角坐标[x，][y，][z]也是广义曲线坐标[q1，][q2，][q3]的单值函数，可表示为：
　　[x=x（q1，q2，q3），y=y（q1，q2，q3），z=z（q1，q2，q3）]（14）
　　根据上述直角坐标与广义曲线坐标之间的函数关系，可求得拉梅系数的计算公式：
　　[Qi=?x?qi2+?y?qi2+?z?qi2，i=1，2，3]（15）
　　考虑到曲线坐标系线元的表达式，对于该坐标系下任意一坐标变换的雅格比矩阵计算式需修正为：
　　[Aαα=Qα?xαQα?xα，α，α=1，2，3]（16）
　　根据式（15），式（16）确定两个曲线系坐标间坐标变换的雅格比矩阵，代入式（11）可得到新坐标系下的媒质参量分布。
　　3性能仿真
　　下面分别以直角坐标，球坐标和柱坐标下的3个异向介质的设计实例说明本设计方法的正确性。
　　3.1直角坐标下高增益喇叭口天线异向介质的材料参数设计
　　考虑如图2所示的坐标变换关系，在原始坐标空间下的一矩形区域（图中[ABCD]所包围的区域）转变为新的变换空间内的梯形区域（所包围的区域），则这种坐标变换关系可写为：
　　从图3可以看出，将该异向介质置于波导口径天线处，可将波导口处的柱面波转换为平面波辐射，从而提高天线的方向性。
　　图4为采用商用软件COMSOLMultiphysics计算得到的加载这种异向介质材料的二维波导口径天线和未加载异向介质的波导口径天线的电场分布情况。
　　3.2球坐标系下球壳形cloak异向介质的材料参数设计
　　采用Pendry教授提出的球形cloak异向介质[5]作为第二个验证算例，其坐标变换关系为将球坐标系下的一半径为[b]的球形区域压缩为内径为[a，]外径为[b]的球壳形区域，该变换满足的关系式为：
　　[r=b-abr+a，θ=θ，φ=φ，a≤r≤b]（21）