数学模型的教学实践与思考(3)

　　2. 合理变换问题，拓展模型函数意义。数学问题的提出，可以根据现实生活中的需要，也可以根据模型之间的关系，由一类数学模型经过变化产生另一类模型，然后提出数学问题。后者问题的提出，有利于加强数学模型之间的联结，加深学生对数学模型本质的理解。在教学中，安排了以下的学习过程： 

　　师：在“□×4=□”这道算式里，4在第二个乘数的位置，我们在解决问题的过程中，就是想几乘4等于几。这里的已知数除了可以在第二个乘数的位置，还可以在哪里？ 

　　生：还可以在第一个乘数的位置，在第一个乘数的位置和在第二个乘数的位置想的问题是一样的。 

　　生：如果已知数在积的位置就不一样了，如：□×□=16。 

　　生：这个算式可以想：一共有16个人，每行的人数同样多，可能分几行？ 

　　生：还可以想，一共有16只兔子，每只笼子里的兔子同样多，可能装几笼？ 

　　…… 

　　师：上述这些是乘法里面的算式，除法里面也有类似的算式吗？ 

　　生：除法算式里也有，如：□÷4=□、□÷□=4、16÷□=□。 

　　生：其实除法和乘法差不多。乘法算式：“□×4=□、4×□=□”与“□÷4=□、□÷□=4”提出来的问题是相同的。 

　　生：“□×□=16”与“16÷□=□”这两道算式提出的问题是相同的，都是已知总数，要提每份数或份数的问题。 

　　…… 

　　通过引导学生思考“已知数除了可以在第二个乘数的位置，还可以在哪里”让学生变换乘法算式中已知数的位置，找到乘法模型里不同类型的变量问题。通过让学生思考“上述这些是乘法里面的算式，除法里面也有类似的算式吗”进一步思考基于除法模型的变量问题，并把乘法模型的变量问题与除法模型的变量问题进行对接，进一步拓宽了乘法模型和除法模型的函数意义，加深学生对乘法模型和除法模型变量问题的理解。 

　　3. 常量问题与变量问题转换，提高解决问题能力。乘法和除法的常量问题与变量问题虽然都统一于乘法模型和除法模型，但是，在解决问题的过程中还要对两类问题进行适当区分，让学生选择合适的数学表达式解决问题，提高学生解决问题的能力。在教学过程中，安排了以下两个层次的学习： 

　　第一层次，首先出示问题（如图10），让学生选择合适的方法解决。左边一题是变量思维的问题，在学生分析了数量关系后，可以选择“□×□=18”与“18÷□=□”这样的算式来解决，右边一题是常量思维的问题，通过找到两个已知数之间的关系，然后根据两个给定的已知数求出问题的结果。在解决问题后，再让学生体会两者思考问题的方法是相通的，都可以借助于“总数”、“每份数”与“份数”之间的关系进行思考。 

　　第二层次，在解决问题之后，再让学生把第一类问题与第二类问题互相转换，加深对常量问题与变量问题的理解，为合理运用模型的算术意义与代数意义解决问题打下基础。 

　　上述过程中，通过让学生根据问题情境选择合适的方法来解决问题，以及把常量问题与变量问题进行转换，加深对乘法模型与除法模型算术意义与代数意义的理解，提高学生运用模型解决问题的能力。 

　　三、纵向延伸，把握数学模型的发展过程 

　　要让学生体会到不同类型的模型发展过程中相同的地方，并且能够根据现有的模型再生出新的模型。 

　　本节课最后，在学生回顾了这节课的学习内容后，引导学生看着板书（如图11）思考：根据部分量相同的加法运算产生了乘法运算，照这样想下去可以产生什么运算？通过这样的追问，一方面为学生后面学习乘方与开方埋下思维的种子，另一方面让学生体会到，运算的方法发生了变化，但是运算产生过程中的思维方法是不变的，让学生更加深刻地理解加减乘除这四类模型之间的本质联系。 

　　在教学过程中，我们既要让学生理解数学模型与现实问题之间的联系，灵活转换现实问题与数学模型，理解数学模型的意义；也要让学生从模型的算术意义走向代数意义，深度理解模型的本质，培养学生的早期代数思维；更要带着学生体会模型的发展变化过程，根据已知模型再生出新模型，理解数学发展的本质，这样才能够充分实现数学模型的教学价值。 

　　参考文献： 

　　[1] 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌. 小学数学研究[M]. 北京：高等教育出版社，2009：241. 

　　[2] 孔凡哲，曾峥. 数学学习心理学[M]. 北京：北京大学出版社， 2012：300. 

　　[3] 南京东方数学教育科学研究所. 教师教学用书（数学二年级上册）[M]. 南京：江苏教育出版社，2013：225.