古典概型与几何概型解法扫描(2)

　　根据已知条件作出大致的几何图形.从而确定运用何种测度公式.
　　例3已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.
　　（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
　　（2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0
　　x>0
　　y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率.
　　分析：根据原函数是增函数确定a，b的范围，枚举基本事件总数与事件A的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问.
　　解析：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1图象的对称轴为x=2ba，要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a.
　　若a=1，则b=-1；若a=2，则b=-1，1；若a=3，则b=-1，1.
      ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
　　（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
　　函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
　　依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
　　a>0
　　b>0}.
　　构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
　　b=a2得交点坐标为（163，83）.
　　∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
　　点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
　　四、构造模型法
　　当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
　　例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
　　（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
　　（2）利用该图形求事件A的概率.
　　分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
　　解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
　　（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
　　∴P（A）=18×43π×1313=π6.
　　点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.