问题驱动使定理生成更自然

　　[摘要]数学概念、定理等内容是数学的重要组成部分，强调概念、定理的自然生成更是现行新课标的重要理念之一.两个平面平行的判定定理是立体几何中的一个重要定理，它揭示了线线平行、线面平行、面面平行的内在联系，体现了转化的数学思想.通过定理的探究，渗透“直观感知—操作确认—思辨论证”的认知方法和抽象概括能力.

　　[关键词]问题驱动；平面与平面；平行；判定定理

　　数学概念、定理等内容是数学的重要组成部分，强调概念、定理的自然生成更是现行新课标的重要理念之一.但是，目前的教学中“重结论、轻过程”的现象普遍存在，将数学教学简单地等同于解题教学，将学生推向题海战中，本末倒置，费时费力，教学效果很不好.因此，数学教学应该“返璞归真”，努力揭示数学的本质，使学生理解数学概念、定理的形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法.下面以人教A版数学“平面与平面平行的判定”为例，谈谈笔者在教学实践中的体会.

　　[?]教材分析

　　本节课是在空间线线、线面、面面位置关系以及直线与平面平行的判定基础上进行的，两个平面平行的判定定理是立体几何中的一个重要定理，它揭示了线线平行、线面平行、面面平行的内在联系，体现了转化的数学思想.通过定理的探究，渗透“直观感知—操作确认—思辨论证”的认知方法，培养几何直观能力和抽象概括能力，为以后学习直线、平面垂直的判定及其性质打下基础.

　　[?]学情分析

　　（1）学生学习了空间点、线、面位置关系以及直线与平面平行的判定定理，对研究立体几何问题的方法有了一些初步认识，具备了一定的空间想象能力、逻辑推理能力.

　　（2）学生参与课堂、自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材很感兴趣.

　　（3）学生把空间问题转化为平面问题的意识还有所欠缺，在理解直线、平面位置关系的内在联系上还不够深入.

　　[?]教学目标

　　（1）知识目标：理解平面与平面平行的判定定理，能够应用判定定理解决简单问题.

　　（2）能力目标：通过平面与平面平行的判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力，体会转化、类比数学思想，渗透研究立体几何问题的方法.

　　（3）情感目标：通过定理的探究，激发学习兴趣，体验知识的形成过程，培养学生主动探究的习惯.

　　[?]教学设计

　　（一）实例引入，导入新课

　　师：你知道木工师傅是如何检验桌面与水平面平行的吗？

　　对于这个问题，不急于让学生回答，先引起学生思考.紧接着，教师指出本节课所研究的课题.

　　设计意图：从实际问题入手，激发学生的好奇心及求知欲，提高学生学习数学的兴趣和积极性.

　　（二）启发引导，探究定理

　　1.类比

　　问题1：前面我们研究了直线与平面平行的判定，都有哪些方法？

　　生1：定义法与判定定理.用定义法就是判断直线与平面无公共点；用判定定理就是证明平面外直线与平面内直线平行.

　　师：很好！用定义判定线面平行很麻烦，因此常用判定定理来判定线面平行.也就是说，将判定线面平行的问题转化为判定线线平行的问题.

　　设计意图：巩固所学知识，明确研究问题的方法，为下面把面面平行问题转化为线面平行问题做好铺垫.

　　2.迁移

　　问题2：类比线面平行的判定方法，你有什么方法判定面面平行呢？

　　生2：用定义判断，即判定两个平面是否有公共点，如果没有公共点，那么就说两个平面互相平行.

　　问题3：用定义判定两个平面平行很麻烦，还有其他的判定方法吗？

　　启发学生类比线面平行的判定定理，判断面面平行的问题能否转化为判断线面平行呢？同时进一步强调：如果一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，根据两个平面平行的定义可得这两个平面一定平行，否则这两个平面就会有公共点.这样，在一个平面内通过公共点的直线就与另一个平面不平行，所以判定两个平面平行的问题可以转化为判定一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.

　　设计意图：线面平行问题可以转化为线线平行问题，因此引导学生将面面平行问题转化为线面平行问题，体会类比、转化的数学思想.

　　3.探究

　　问题4：我们需要判断一个平面上的几条直线与另一个平面平行就可以判定这两个平面平行呢？

　　生3：从简单、特殊情况入手，即先从一条直线开始研究.

　　问题5：平面β内有一条直线与平面α平行，α，β平行吗？请举例说明.

　　引导学生在研究线面位置关系时，通常借助特殊的几何体（如正方体、长方体）模型进行研究，体现直观性.下面借助长方体模型（让学生课前每人做一个长方体模型）进行研究.

　　生4：不一定平行.如图2所示，平面A′ADD′中直线A′A∥平面DCC′D′，但平面A′ADD′与平面DCC′D'相交.

　　问题6：平面β内有两条直线平行于平面α，则α∥β吗？

　　生5：不一定平行.如图3所示，平面A′ADD′内有一条与A′A平行的直线EF，显然A′A与EF都平行于平面DCC′D′，但这两条平行直线所在的平面A′ADD′与平面DCC′D′相交.

　　问题7：我们在研究问题时，应做到不重不漏，接下来是否研究三条直线呢？

　　生6：还应进一步研究一个平面中两条相交直线的情况.

　　问题8：平面β内有两条相交直线与平面α平行，情况如何？

　　生7：可以考虑长方体的两条面对角线，如图4所示，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条相交直线A′C′，B′D′平行，由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC，BD都与平面A′B′C′D′平行.此时，平面ABCD与平面A′B′C′D′平行.

　　问题9：你能用文字语言对上述探究结论进行概括吗？

　　生8：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

　　问题10：上述结论正确吗？你能进行解释吗？

　　此问题先由学生讨论，然后回答，教师补充完善.

　　根据公理2推论，过两条相交直线有且只有一个平面，记为β，如图5所示.如果平面β与另一个平面α有公共点，则必有一条交线l，而l至少会与直线a，b中的一条相交，这与a，b和平面α平行相矛盾.

　　设计意图：引导学生动手操作，通过问题链的设计，层层递进，使学生对问题本质的思考逐步深入，体会知识产生的过程，渗透“直观感知—操作确认—思辨论证”的认知方法，培养学生归纳、概括及动手能力.

　　4.归纳

　　（1）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳面面平行的判定定理.

　　文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

　　符号语言：若a?β，b?β，a∩b=P，且a∥α，b∥α，则α∥β.

　　图形语言：

　　（2）引导学生小组讨论，加深对定理的认识：

　　①五个条件一个也不能少，关键词是：“内”“交”“平行”.

　　②线线、线面、面面平行的内在联系：线线平行?线面平行?面面平行，即用低一级位置关系判断高一级位置关系.

　　设计意图：通过三种语言认识定理，利用讨论加深对定理的理解，反思新旧知识间的联系.

　　（三）应用定理，加深理解

　　例1：木工师傅如何检验桌面与水平面平行.

　　木工师傅通常拿气泡水准器进行检验.工作原理：当水准器中气泡居中时，水准器与水平面平行.木工师傅用水准器在桌面上交叉放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定桌面和水平面平行.这里面的依据就是面面平行的判定定理.教师事先准备一台，让学生动手操作、体验.

　　设计意图：理论联系实际，体会定理在实际生活中的作用.

　　例2：判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明.

　　（1）已知平面α，β和直线m，n，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β.

　　（2）若α内有无数条直线都与β平行，则α∥β.

　　（3）一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α∥β.

　　（4）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.

　　学生思考后回答，结合长方体模型进行反例说明.

　　设计意图：通过一些命题的判断，进一步强化定理的应用条件，特别是对定理中相交直线的重视.

　　这两个变式由学生独立完成，教师投影展示，及时给予点评.

　　设计意图：例3及两个变式都是依托正方体展开的，由于正方体也是学生所熟悉的几何体，具有丰富的性质，再加上本节课是研究面面平行的第一节课，不适宜在复杂的几何体中展开.变式2是一道探索性问题，引导学生把面面平行的问题最终转化为线线平行的问题，在空间找线线平行的常用方法有：利用三角形的中位线；利用平行四边形的性质及公理4.边找边证既培养了学生的动手能力，又培养了大胆猜想、小心求证的科学研究方法.

　　（四）归纳小结，提高认识

　　师：今天我们学习了哪些知识？用到了哪些思想方法？

　　教师在学生总结的基础上再进行概括.

　　（1）知识方面：①两个平面平行的判定定理；②判定两个平面平行的方法——定义，判定定理；③线线、线面、面面平行的内在联系：线线平行?线面平行?面面平行.

　　（2）方法方面：类比、转化思想.

　　设计意图：对学习内容有一个全面、深刻的认识，对学生知识体系的形成有很好的指导作用，培养归纳、概括能力.

　　（五）布置作业，巩固知识

　　（1）教材P62—7，8；

　　（2）探索直线与平面平行、平面与平面平行的性质.

　　设计意图：使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间.

　　[?]教学体会与反思

　　本节课研究了平面与平面平行的判定，并进行了简单的应用.在教学中通过实际问题引入，激发学生探究的兴趣.本课所创设的实际问题情境学生不一定熟悉，通过教学帮助学生了解生活，积累经验.让学生明确学习数学不仅仅是为了考试，还要学会应用，每节课教师都应适当选择一些与本课有关的实际问题供学生思考、探究，培养“数学来源于生活又服务于生活”的应用意识.

　　本节课注重定理的产生过程，按照“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开.由于长方体是立体几何中的基本几何体，其结构对称，各元素之间具有相等、平行、垂直等关系，内涵丰富，它的性质已为学生所熟知，是研究线线、线面、面面位置关系以及特殊几何体的一个重要载体，是展开空间想象的重要依托，因此在定理生成过程中借助长方体模型直观感知、分析，给学生提供动手操作的机会.同时教师精心设计问题，通过问题引导，层层递进，使学生产生一种心理上的期待感，形成探究问题的强烈意识，引发积极的思维活动，直至揭开庐山真面目，使定理的生成水到渠成.在学生经历观察、实验、猜想等合情推理活动后再进行思辨论证.按照教参要求，对定理不要求证明，但这并不等于不作说明，若对定理为真所必要的说明也没有了，则无从谈起培养学生的演绎推理、逻辑论证能力，更不符合人们“大胆猜想、小心求证”的科学研究的基本要求.

　　总之，在立体几何教学中，要借助实物模型，精心设计问题，细化教学过程，引导学生亲身、主动地经历定理的形成过程，努力培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力.