首饰设计中的曲面投影技术研究(2)

　　（三）保角映射与保长映射投影
　　从数学的角度看，保持图案的视觉效果就是保持图案的某些几何性质不变。几何学中几何性质被定义为图形在一族映射下保持不变的一些特性。图案的变化与统一、对比与调和、对称与平衡、节奏与韵律、重心与比例往往是通过其组成图形的长度、角度、曲率等几何性质体现出来的。
　　不同的投影方法可以保持不同的几何性质不变，比如平行投影保持与光线垂直方向的长度不变，如图4所示AB的投影长度不变，BC投影变长，给我们的视觉效果就是垂直投影光线方向没有发生形变；透视投影保持物体视角不变，视角就是线条两端对应的眼睛的张角，如图5所示E是眼睛所在位置，角CEB即是线段CB的视角，BC与AD长度的比值刚好等于BE与AE的长度比，投影AD的视角DEA与角CEB大小相同，其效果是投影AD的视觉大小与平面设计的BC一致。
　　投影函数为保角或保长映射函数的投影方法称为保角或保长投影。保角映射，又称为共形映射，最早用在航海图制作上。⑧如图6所示，它将地球的经纬线投影为平面上的直线，仍然保持垂直相交，球面的三角形DEF映射为平面三角形ABC，三个内角度数不变。保角映射可以保持图案线条间夹角不变，曲线的流转方向不变，从而使曲面构图相对平面设计的形变较小，比保长映射适用范围广泛。
　　保长映射是一种特殊的保角映射，可以保持投影图形的长度、角度、曲率等几何性质均不变，从而能在平面到曲面的转换中完整地保存形式美的要素，如形体的大小、方圆、高低、宽窄，线条的粗细、曲直、长短，使曲面图案设计达到所见即所得。但在首饰设计中，常见的球面与平面区域间不存在保长映射，而且产品造型各异，有时其表面比较复杂，很难得到其与平面区域的保长映射。
　　结语
　　从微分几何可以知道，圆柱面、球面去除一点和圆环面均与平面的某个区域间存在保角映射函数，可以方便用于Rhino、JewelCAD等软件，实现将平面图案保角投影到一些典型曲面的功能。现有的自由曲面上的投影技术仅考虑图形与曲面外形的匹配，没有考虑图形在曲面上变形失真，限制了设计师的图形选择。实际上，要真正实现平面到自由曲面的保形投影十分困难，应综合考虑保形特性与计算复杂性。
　　注释：
　　①李学艺，王钊，连小珉.基于曲线投影的自由曲面雕刻图形设计术[J].机械设计与制造，2009（4）.
　　②张顺心，叶桓.投影与绘画艺术[J].工程图学学报，2008（5）.
　　③李学艺，王钊，连小珉.平面图形在NURBS曲面上的映射[J].计算机工程与应用，2009.
　　④谢叻，周儒荣，阮雪榆.自由曲面自适应投影法精加工刀轨生成[J].上海交通大学学报，2000（10）.
　　⑤王征，王钰，杨国为.基于三维鞋楦面裁剪的鞋品外观样式CAD实现[J].青岛大学学报工程技术版，2008（9）.
　　⑥许统蛉.浅谈珠宝设计师的创意与思维[J].宝石和宝石学杂志，2007（3）.
　　⑦周汉利，孙仲鸣.Rhino结合Flamingo与Techgems在珠宝首饰设计中的应用[J].宝石和宝石学，2008（6）.
　　⑧胡淼，杨勋年.保测地曲率的曲面曲线设计[J].计算机辅助设计与图形学学报，2005（5）.
　　作者单位：叶瑾瑜，中国地质大学江城学院
　　杨宇，揭阳职业技术学院
　　刘颢，武汉数字工程研究所
　　（责任编辑：刘黛）