谈数学教学中如何“转化思想”

　　人类在长期的数学实践中总结了许多解决问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围.但在学生的数学学习过程中，决不能忽视转化数学思想所起的重要作用，在教学中必须重视转化思想的渗透和培养.

　　数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径.在数学中，很多问题能化生疏为熟悉，化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊，化高次为低次……下面就“转化思想”在初中数学的应用通过举例作个简单归纳.

　　一、生疏问题熟悉化

　　生疏问题转化成熟悉问题是解题中常用的方法.解题能力实际上是一种创造性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察.因此，教师应深刻挖掘量变因素，将教材的抽象程度通过利用学过知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做可得到事半功倍的效果.

　　例1已知：两圆内切于P，过P点的直线交小圆于A，交大圆于B.求证：PA∶PB为定值.

　　分析过P点的直线绕P旋转形成无数个不同的位置，其中过P的直径每个圆只有一条，要证PA∶PB为定值，先将直线PAB过圆心，这时PA′∶PB′=r∶R.再过P点任作一条直线交小圆于A，交大圆于B，连结AA′、BB′，即可把要求解的PA∶PB为定值转化为证明三角形相似或证明平行线对应线段成比例.

　　二、复杂问题简单化

　　所谓“复杂问题简单化”即为教师先将一个复杂的问题分成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再分析说明这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务.

　　例2解方程（x-1）2-5（x-1）+6=0.

　　分析此方程形式较复杂，可通过换元化为简单方程.

　　令x-1=y，则y2-5y+6=0，通过换元转化为会解的一元二次方程可进一步求解.

　　三、实际问题数学化

　　即是将实际问题转化为数学问题的解题方法.

　　重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改的一个热点，已成为我国教育改革的一个指导思想，也是新大纲强调的重点之一.新编教材在加强用数学的意识方面也作了改进，理论联系实际是编写教材的重要原则之一，教材注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力.

　　例3甲乙两个粮库要向A、B两地运送玉米，已知甲库可调出100吨玉米，乙库可调出80吨玉米；A地需70吨玉米，B地需110吨玉米；两库到A、B两地的路程和运费如表1.

　　（1）设甲库运往A地玉米x吨，求总运费（y元）关于x的函数关系式；

　　（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨玉米时，总运费最省？最省的运费是多少？

　　所以，总费用为y=20×12x+15×12（70-x）+25×10（100-x）+20×8（10+x），

　　即y=-30x+39200.

　　（2）上述一次函数中，y的值随x的增大而减小，x=70时，总运费（y元）最小，为37100元.

　　四、“部分”问题“整体”化

　　在解题的过程中，我们可以将部分问题转化为整体问题进行求解，比较直观、易懂，方便掌握.

　　例4已知x2-x-1=0，则代数式-x2+x+2009的值为多少？

　　解把x2-x-1=0看成整体，-x2+x+2009中可变出这个整体，即可变为-（x2-x-1）-1+2009.把（x2-x-1）看作整体为0，代入-（x2-x-1）-1+2009中得出结果为2008.

　　五、数与形的转化

　　即利用数形结合（数形转化），化解综合类数学题.

　　例5一次函数y=x+m与反比例函数y=m11x的图象在第一象限交于一点（a，b），AB⊥x轴，垂足为B，已知△ABO的面积为3，试求一次函数与反比例函数的解析式.

　　解由S△ABO=1112ab=3，得ab=6.因为点A（a，b）在y=m11x的图象上，即m=ab=6，所以一次函数的解析式为y=x+6，反比例函数的解析式为y=611x.

　　六、高次问题低次化

　　即将高次方程转化为低次方程后再进行解答.这种方法比较便捷、易懂，解题快、准，在提高解题速度方面有很大的优势.

　　例6解方程x4-5x2+6=0.

　　分析这是一道一元高次方程，可通过换元进行降次，转化为会解的一元二次方程.设x2=y，则上式变为会解的一元二次方程y2-5y+6=0，再进一步求解，就比较便捷.

　　可见，数学转化思想是中学数学教育中最活跃，最实用的.其它如不规则转化为规则，动与静的转化都是数学中的转化思想，在此就不再一一枚举.我们在教学中还应合理组织教学活动，加强新旧知识的联系，摒弃“题海战”的教学模式，重视解题思路的总结，这对学生各种思维能力的提高也同样有益.