基于上证指数收盘价标准差系数的时间序列预测(2)

　　ARIMA模型是自回归单整移动平均时间序列的英文缩写，记为ARIMA（p，d，q），其中p是指组成ARIMA模型的自回归模型部分（AR（P））的阶数，记作Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+...φpYt-p+μt，φ1、φ2、φp称为自回归系数，μt为随机干扰项，是一个白噪声过程；q是指ARIMA模型的移动平均模型部分（MA（q））的阶数，记作Yt=μt-θ1μt-1-θ2μt-2-...θqμt-q，μt、μt-1、μt-2、μt-q为滑动平均系数，是一组白噪声过程；d是指对原始数据差分的次数，在这里，“d阶单整”是指非平稳过程的时间序列数据d阶差分后是平稳的。所以ARIMA模型可写作AR模型与MA模型的合成，即：Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+...φpYt-p+μt-θ1μt-1-θ2μt-2-...θqμt-q。为了简化模型，引入滞后算子L，定义：LYt=Yt-1，同理：L2Yt=Yt-2，...L2Yt=Yt-p，对MA模型也是一样：L2μt=μt-2，...Lqμt=μt-q。于是，ARIMA模型可化作：（1-φ1L-φ2L2-...φpLp）Yt=（1-θ1L-θ2L2-...θqLq）μt。定义差分算子▽Yt=Yt-Yt-1，d阶差分与滞后算子L之间有如下关系：▽d=（1-L）d。所以对于非平稳时间序列ARIMA（p，d，q），ARIMA模型可简化为：φ（L）（1-L）dYt=θ（L）μt。
　　（三）平稳性严格检验的数学原理及检验效果
　　上文提到，对于时间序列平稳性严格检验，我们采取样本自相关函数（AFC）来进行判断，自相关函数写作：γk=[（Yt-Y）（Yt+k-Y）]/（Yt-Y）2（k=0，1，2，......）
　　通过自相关函数可以看出，当K增大时，γk的分子将急剧减小，导致自相关函数减小，很快趋近于零，这种现象叫做截尾或拖尾。当出现截尾或拖尾现象时，可以认为时间序列是平稳的。用这种方法检验的ACF结果，并不拖尾或截尾，说明原始数据并不是平稳的，所以需要通过差分技术来对非平稳数据平稳化。经过尝试后认为三阶差分后效果最好，明显的围绕某个值上下波动的状态，而且没有趋势性，直观上可以认为三阶差分后的时间序列是平稳的。
　　（四）模型建立的数学原理与实证分析
　　下面进行ARIMA（p，d，q）模型建立。模型建立依赖于对组成ARIMA（p，d，q）的AR（p）和MA（q）中p和q的分别估计。下面引入AR（p）的偏自相关函数。对于AR（p）部分：Yt=φk1Yt-1+φk2Yt-2+...φkkYt-k+μt，偏自相关系数是指最后一个自回归系数φkk。它的作用是判断Yt和Yt-k是否有直接关系，而非通过各自与其他自回归系数建立间接关系。φkk有如下性质：对于AR（p），当k≤p时，φkk不等于0，反之则为0，也就是所谓的偏自相关函数的截尾现象。又因为φkk是随机变量的数字特征，所以如果找到其概率分布，即可通过假设检验判断φkk从p为何值起开始截尾，从而得到p值。数学家证明，当k>p时，φkk无限趋近服从均值为0，方差为1/n的正态分布。所以在0.05显著性水平下，可以通过计算机迭代得到p值。
　　对于MA（q）部分，则应使用其自相关函数ρk，此函数为：当k=0时，ρk=1；1≤k≤p时，ρk=（-θk+...θq-kθq）/（1+θ12+...θq2）；k>q时，ρk=0，也就是自相关函数的截尾现象。所以，只需找出从何值开始，ρk=0，截尾现象出现，此值即为q值，这一切也可通过计算机迭代来实现。PACF三步截尾，可判断为平稳时间序列，从而得到p=3，q=1，d=3，所以ARIMA模型为ARIMA（3，3，1）。最后利用SPSS19.0的创建时间序列功能，得到模型白噪声检验以及参数估计值，如表2。
　　由表2可知，sig值为0.443，远大于0.05，可以认为模型显著性很高。由表3可知，AR部分的三个系数的sig值均小于0.05，接受估计值，但是发现MA部分的系数估计值的sig值大于0.05，可以拒绝估计值，但是当设q值为0时，即将ARIMA（3，3，1）改为模型ARIMA（3，3，0）后，得到的拟合曲线为图2，而q=1时的拟合曲线为图3。
　　对比图2和图3在2009年11月和2009年6月位置上的波动发现，图3的波动能够更好的拟合观测值，图2的标准差系数波动过大，所以图3的拟合效果好于图2，保留原来的模型假设，取ARIMA（3，3，1）。模型残差通过了白噪声检验。
　　从表3中还可以看到，常数项为-0.785，sig值为0.985，远大于0.05，说明模型可以通过去除常数项进行优化，去掉常数项后MA的第一个系数的估计值的sig值为0.502，虽然仍大于0.05，但较保留常数项时表2中的sig=0.672有了较大改善，可以进行优化。最终得到的拟合图如图4。
　　可以看出，估计出的时间序列较好的拟合了实际时间序列图，虽然有一定偏差，但都在允许的范围内，而且比实际的标准差系数波动幅度大一点，可以为决策者提供决策的提前量。虽然BIC值和拟合优度上去掉常数和不去掉没有区别，但是从模型的简约性上讲，去掉常数优于保留常数。
　　三、模型结果、预测及意义