浅谈数学结尾艺术

　　数学课的开头固然重要，但结尾也不可以忽视。目前人们在探讨如何把握数学课堂教学的各个环节时，因为忽视结尾，而导致整个教学效果受影响的课例并不少见。事实上，恰当的结尾能起到画龙点睛、承上启下、突出中心的作用。它可以给学生留下难忘的回忆，激起学生对下一次教学的强烈渴望。

　　数学课的结尾艺术根据教学内容、要求与课型的不同通常有如下一些表现方式。

　　一、概括式结尾

　　这种结尾是指在全课结束时利用较短时间把教学的内容、知识结构、思想方法等采用叙述、罗列、表格、图示等方法加以浓缩、慨括、强调要点。它多用于新受课的结尾，也是一种常用的表现方式。它的艺术性表现在系统、完整而又简明扼要上。它的特点是能使学生对整节课有一个清晰的整体影响。

　　例如，在初三“切线的判断”这一章节的结尾，可以作如下的小结：

　　（1）直线与圆有明确交点，连接交点与圆心，证明连线与直线垂直。（2）直线与圆无明确交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径。这种小结概括了证切线的方法以及辅助线的作法。学生通过这番话语，就能很好地掌握切线的证明方法。

　　再如，“列方程解有关应用题”的教学结束时，可以对所学的内容进行概括式结尾，帮助学生归纳量与量的基本关系，从中构建出几个常见类型（工程问题、行程问题、浓度问题……），指导学生从实例中抽象出一个“表出相等关系的式子”、总结出解题的具体步骤，学生再碰到这类问题时，就能迎刃而解。

　　二、悬念式结尾

　　悬念是指那些悬而未决、但又让人牵挂思念的问题，若学生在学习中产生悬念心理也就会具有巨大的潜在动力。所以课堂教学中，可以将现有教学内容与下一个教学过程中的内容发生联系使学生产生悬念，特点是有意不把问题讲通，而设置若干悬念，让学生去思考、讨论，从中悟出道理。首先悬念的设置应有较高的艺术性，而且要做到既有思考的价值，又不能使学生普遍费解。这其中有一个“度”的问题，掌握好这个“度”就是艺术，一般来说它取决于教学内容的性质、难易的程度和学生的水平。这种结尾多用于前后联系的章节内容或需要引导学生予以深化的教学内容，它能激发起学

　　生巩固己学知识和渴望学习新知识的动机，大有说评书人的那种“且听下回分解”的味道。

　　例如：在学习“相交弦定理”中，学生己经知道“若圆中两弦、相交于圆内一点时，则：”。结尾时，教师可以设置悬念：“当移到圆外时，、就成为圆的割线或切线，此时是否仍有的结论呢？当其中一条割线变为圆的切线，结论如何？当两条割线变为切线时，结论又如何？”以激发学生的学习新知识的渴望和动机。

　　三、串联式结尾

　　这种结尾是指在一个单元或一个章节学习即将结束时，对章节的前后内容进行串联、整理、比较、归类，便所学的知识系统化，网络化，或有例题的形式（条件、结论包括形状等），联系与它相近、相似、相反的问题。它的艺术性表现在为学生提供良好的知识结构，并让他们在数学的基本结构中鉴赏数学美。

　　如：在学完方程以后，可以对所学的方程进行比较、整理，让学生掌握方程之间的内在联系及解方程的方法。设计这种结尾可以帮助学生建立知识体系，便于理解和应用，而且可以强化学生对分类和化归思想的认识。

　　又如：二次函数内容结束前，对二次函数的各个知识点进行串联、归纳、整理，对本章节设计串联式结尾，让学生掌握知识点的内在联系和推导线索。这种结尾可以帮助学生理解和记忆，学好全章，从中获得美的感受和体验。

　　再如：教材在介绍全等三角形的判定时，有下面的典型例子：如果三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等。可以对本节设计串联式的结尾。

　　串l：将“中线”改为“高”或相应“角平分线”，结论成立吗？

　　串2：将“其中一边上的中线”改为“第三边上的高”或相应的“角平分线”，结论成立吗？

　　经过这样的串联，使学生学一道，想一串，会一类，起到举一反三，触类旁通之效。

　　四、发散式结尾

　　这是一种对教学过程中得出的概念、公式、定理法则等进一步进行分散性思考，以加深对有关知识的理解，并培养和发展学生的思维能力的结尾方式。它多用于较有思考性的教学内容。它的艺术性在于要根据教学目的和要求、教材内容和学生的水平，对“发散点”进行筛选，对典型例题的发散因素进行挖掘以及对问题进行多角度审视和多层次引伸。

　　例如：在“抛物线图象和性质”这一课结尾时，提出一般式的顶点的求法，启发学生探索思考。

　　又如：教材讲圆的内接四边形以后，课本上有下面的例题。

　　已知：如图，圆与圆相交于、，过点的

　　直线分别与圆、圆相交于点、。过点的直线分别与圆、圆相交于点、，求证：∥。

　　讲完证法以后，教师可以提出：

　　上例的图形一旦变为以下图形时，是否仍有？如何证明以此为学生提供广阔的思维空间，颇有成效。

　　五、自主式结尾

　　这种是指学生在教师的指导点拨下，充分发挥自身的主动性、积极性、创造性，通过学生的主动探索、自觉思考，让学生对某个知识点或知识体系进行整理、归纳、小结，从而达到使学生学会学习、自主学习的目标。特点是能让所有的学生都积极参与，去思考，而且学生都有思考的空间。其艺术性表现在教师应如何去创设问题情境，诱导学生广泛、主动、自觉地参与。

　　例如，在讲完“一元二次万程根与系数关系”之后，教师可以要求学生结合课本对本节课或本章节的内容谈谈自己的收获，此时，有的学生说出该定理及定理的特征，有的学生说出定理应用的条件，也有的学生说出该定理的用途。通过学生的合作与交流，可以使不同层次的学生都会有不同深度和宽度的理解与研究，充分发挥不同学生的聪明才智，形成合力，在此过程中教师可以适当地提出自己的思考与建议，及时地进行纠正，并作出恰当的评价，同时教师应积极地鼓励学生在学习过程中的各种发现，充分肯定学生在研究过程中闪现出来智慧火花，这样有利于问题的分析与研究，便所有的学生都有不同层度的提高。

　　六、激励式结尾

　　这种结尾是通过对数学解题的评价，评判解法的正误优劣，使学生在评价过程中看到自己的成就与不足、成功与失败的原因等，产生自尊、自信、自强的心理和愉快的情绪，在激励中便学生进入后续内容的学习。它多用于习题分析和测验的评解课。其艺术性主要表现在对学生创造性意识和创造成果的充分肯定。

　　总之，在数学教学中，教师要根据数学的要求、内容和课型，设计好结尾，加强对结尾艺术的“精品”的设计来引发学生学习兴趣，开启思维的闸门。