例谈不同层次学生向量教学的实施策略

　　[摘要]向量是数学知识能力中较为有区分度的章节，在应试中向量板块因其出色的思维考查能力、灵活的变化深受学生的喜爱。从两个向量典型问题出发，结合中专学生的特点，探讨不同层次学生在处理向量问题时应使用的相应策略，能给向量教学一定的启发。

　　[关键词]向量；层次；代数化；多解；发散思维

　　[中图分类号]G712[文献标识码]A[文章编号]2095-3712（2014）23-0017-03[作者简介]叶秋平（1972—），女，福建宁德人，本科，宁德市职业中专学校讲师。

　　向量是数学地位极其重要的一章，其灵活的变化使得学生对向量的试题往往无从下手。向量试题往往从不同的策略实施下手，代数化策略和图形化策略是最主要的解决策略。笔者发现，成绩较好的学生往往两种策略均能正确掌握，更喜欢图形化策略；对于数学知识能力运用较弱的学生而言，代数化策略是教学的首选，其将向量问题代数化，使得较难的向量问题运用代数的工具进行解决。图形化策略偏重思考、轻运算，代数化策略则恰好反之。

　　一、多解策略，发散思维

　　多解策略是解题教学中受教师欢迎的一种策略，该策略注重了学生发散思维的培养，在解决问题的过程中，教师引导学生从不同知识出发，将各种解决手段融合到一起。笔者认为，向量教学中使用这样的方式，既可以围绕向量渗透各种数学基本知识，也能激发学生多思维的策略，对于优等生而言，这是一种极易培养思维发散性、知识整合性的优秀手段。

　　案例1：如果非零向量a，b满足|a+b|=|b|，则（）。

　　A.|2a|>|2a+b|

　　B.|2a|<|2a+b|

　　C.|2b|>|a+2b|

　　D.|2b|<|a+2b|

　　策略一：从结论考虑，既然是不等式，本质就是比较大小，此题只要比较|2a|与|2a+b|或者|2b|与|a+2b|的大小，学生自然能想到只要把向量的模平方，作差即可。

　　解法一：∵|a+b|2=|b|2即a2+2a·b=0，则|2a|2-|2a+b|2=-4a·b-b2无法判断这一结果的正负；|2b|2-|a+2b|2=-a2-4a·b=a2>0，故选C。

　　策略二：既然是代数运算，向量坐标法必定行得通，得出法二：

　　解法二：设a=（x，y），b=（m，n），则（x+m）2+（y+n）2=m2+n2，即x2+y2+2mx+2ny=0，则4x2+4y2-（2x+m）2-（2y+n）2=2（x2+y2）-m2-n2无法判断正负，而4m2+4n2-（x+2m）2-（y+2n）2=-4mx-4my-x2-y2=x2+y2显然大于0。故选C。

　　反思：本题的选择能体现基础与本质的关系，突出了主干，也突出了几何直观。教师先引导学生总结解决此类问题常用的方法：1.坐标法；2.数形结合；3.向量方法的运用。让学生从数学知识整体与方法上全面去认识解题，力求从“一题多解”中学会辨析好与不好的解法，把好方法的选择与解题落实到复习中。以上两种解法从结论出发，执果索因，思路朴实正确；但计算较繁，如果一步出错，满盘皆输。这就对学生的计算能力提出了高要求，做选择题时学生很少能耐着性子算下去。

　　策略三：对于向量的题目，很多同学还是愿意从向量式的几何意义出发，构建三角形。

　　解法三：如图：设CB=a，BA=b，则BD=2b

　　则|2b|=|AD|+|CA|，|CD|=|a+2b|，在三角形中两边之和大于第三边，故选C。

　　反思：该方法符合学生实际情况，简洁明朗，通俗易懂，将向量问题转化成平面几何问题，计算难度远远小于解法一和二，笔者认为这是本题最好的方法，也是学生最容易想到的方法。

　　策略四：顺着学生的思路，既然能构建三角形，那么平行四边形中是否也蕴涵着本题的真相。

　　解法四：通过平行四边形法则及菱形的几何性质得在Rt△ABC中，|2b|=|AC|>|AB|=|a+2b|，故选C。

　　反思：此法还是采用数形结合的思路，有学生想到了此法，上黑板板演，但由于图形相对复杂，学生最终无法解答，主要靠教师讲解分析，学生才勉强接受。此法也让学生重视图形语言，平时多画一些图，既直观又有逻辑，好的数学题都蕴涵着丰富的图形。教师选中此题，可谓用心良苦。当然，要构建直角三角形也可以通过对已知条件的变型，充分发掘题目涵义，如：|a+b|2=|b|2，则a2+2a·b=0，所以a⊥a+2b。如图所示：显然，|2b|>|a+2b|，此方法体现了数与形的完美结合，值得一提。

　　策略五：平行四边形是一个重要载体，如果法4的图形有点复杂，巧妙利用一个不等式，很快答案就出来了。

　　解法五：如图|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=|2b|。

　　反思：该解法太简洁了，充分体现数形结合的思想，拓展了学生思维。但对于绝对值不等式学生很陌生，很难想到此法。

　　策略六：本题为模拟试题，参考答案给出了怎样的解法呢？学生很有兴趣知道，故又介绍了第六种解法：

　　解法六：∵a⊥b|a+b|=|a-b|，

　　又∵|a+b|=|b|，即2|a+b|=2|b|，即|a+2b+a|=|a+2b-a|，∴a+2b⊥a，从而易得C。

　　反思：对式子的结构进行变形、拼凑，是学生的一个弱点，此法与解法五一样技巧性太强，不能普及。

　　策略七：当学生在感叹这么多方法时，（教师接着说：）既然上述方法想不到，对于选择题又有什么特殊的解题技巧呢？

　　解法七：特殊值代入，排除其他选项，如a=（1，0），b=（-2，0），很快排除B、D。